Conjunto de exercícios retirados do livro “Probabilidades - Resumos teóricos Exercícios resolvidos Exercícios propostos”

Exercício 6 Página 10

Dois jogadores jogam alternadamente uma moeda, ganhando o jogo aquele que primeiro obtiver uma cara. Qual a probabilidade de ganho do primeiro a jogar?

Solução. Sejam os eventos:

• A = o primeiro a jogar ganha o jogo;
• B = o segundo a jogar ganha o jogo.

Evidentemente, A e B são eventos complementares, pois o jogo sempre deverá terminar.

O evento A poderá se dar na primeira jogada, ou na terceira (a segunda é do adversário), desde que ambos errem as anteriores, ou na quinta, idem, idem, etc. Ora, a probabilidade de acerto é 1/2 na primeira jogada, 1/8 na terceira (é preciso errar, errar e acertar, resultados independentes com probabilidades iguais a 1/2), 1/32 na quinta, etc. Ou seja:

\[ \begin{aligned} P(A) = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} + \frac{1}{128}+... \end{aligned} \]

Temos a soma dos termos de uma série geométrica cujo primeiro termo é 1/2 e cuja razão é 1/4, menor que 1. Sendo a1 o primeiro termo e q a razão, é sabido que nessas condições a soma dos infinitos termos da série é dada pela expressão a1/1-q. Logo,

\[ \begin{aligned} P(A) = \frac{1/2}{1-\frac{1}{4}} = \frac{2}{3} \end{aligned} \]

Por raciocínio semelhante, teríamos

\[ \begin{aligned} P(B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \frac{1}{256}+... \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} P(B) = \frac{1/4}{1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{3} \end{aligned} \]

Conforme o esperado, pois A e B são eventos complementares.